来自

 

fact(n)可以表示为n x fact(n-1)，只有n=1时需要特殊处理。

于是，fact(n)用递归的方式写出来就是：

def fact(n):    if n==1: return 1 return n * fact(n - 1)

上面就是一个递归函数。可以试试：

>>> fact(1)1>>> fact(5) 120 >>> fact(100) 93326215443944152681699238856266700490715968264381621468592963895217599993229915608941463976156518286253697920827223758251185210916864000000000000000000000000L

如果我们计算fact(5)，可以根据函数定义看到计算过程如下：

===> fact(5)===> 5 * fact(4)===> 5 * (4 * fact(3)) ===> 5 * (4 * (3 * fact(2))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * fact(1)))) ===> 5 * (4 * (3 * (2 * 1))) ===> 5 * (4 * (3 * 2)) ===> 5 * (4 * 6) ===> 5 * 24 ===> 120

递归函数的优点是定义简单，逻辑清晰。理论上，所有的递归函数都可以写成循环的方式，但循环的逻辑不如递归清晰。

使用递归函数需要注意防止栈溢出。在计算机中，函数调用是通过栈（stack）这种数据结构实现的，每当进入一个函数调用，栈就会加一层栈帧，每当函数返回，栈就会减一层栈帧。由于栈的大小不是无限的，所以，递归调用的次数过多，会导致栈溢出。可以试试fact(1000)：

>>> fact(1000)Traceback (most recent call last):  File "
     
      ", line 1, in 
      
         File "
       
        ", line 4, in fact ... File "
        
         ", line 4, in fact RuntimeError: maximum recursion depth exceeded
        
       
      
     

解决递归调用栈溢出的方法是通过尾递归优化，事实上尾递归和循环的效果是一样的，所以，把循环看成是一种特殊的尾递归函数也是可以的。

尾递归是指，在函数返回的时候，调用自身本身，并且，return语句不能包含表达式。这样，编译器或者解释器就可以把尾递归做优化，使递归本身无论调用多少次，都只占用一个栈帧，不会出现栈溢出的情况。

上面的fact(n)函数由于return n * fact(n - 1)引入了乘法表达式，所以就不是尾递归了。要改成尾递归方式，需要多一点代码，主要是要把每一步的乘积传入到递归函数中：

def fact(n):    return fact_iter(1, 1, n) def fact_iter(product, count, max): if count > max: return product return fact_iter(product * count, count + 1, max)

可以看到，return fact_iter(product * count, count + 1, max)仅返回递归函数本身，product * count和count + 1在函数调用前就会被计算，不影响函数调用。

通过增加参数，使得递归函数只需要返回其本身，使用第二个参数来计算递归函数的的递归层数，使用第三个参数来控制递归层数，最终结果减少了（n-1)个栈的空间开销。

经典的递归函数是通过返回值中的（n-1)以及函数体中的n>0来计算以及控制递归的层数。

fact(5)对应的fact_iter(1, 1, 5)的调用如下：

===> fact_iter(1, 1, 5)===> fact_iter(1, 2, 5) ===> fact_iter(2, 3, 5) ===> fact_iter(6, 4, 5) ===> fact_iter(24, 5, 5) ===> fact_iter(120, 6, 5) ===> 120

尾递归调用时，如果做了优化，栈不会增长，因此，无论多少次调用也不会导致栈溢出。